Matemática: Función de grado 4

La actividad virtual propuesta consiste en el análisis de una función de grado 4, con sus respectivas explicaciones.

• La función elegida es f(x)= x^4-5 x^3+5 x^2+5 x-6 y se la analizará a partir del programa http://www.wolframalpha.com/
  
• Luego de escribir la función de grado 4, el programa muestra el análisis que realizó según la función dada. La gráfica de la función es la siguiente:
  
  

• Como se observa, el programa realizó la gráfica de la función asignándole distintos valores al dominio: del -1 al 3 y del -30 al 30.
  Tomaré el primer ejemplo(x from -1 to 3) para analizar la función f(x)

• Raíces de la función f(x)
  
  Wolframalpha muestra la forma alternativa de dicha función: (x-3) (x-2) (x-1) (x+1)
  Por lo tanto, los valores que anulan a la función son: 3, 2, 1 y -1
  Estos valores son las raíces de la función. De igual modo, el programa indica explícitamente cuáles son las raíces de la misma.
  
  
• Ordenada al origen
  
  Para saber cuál es la ordenada al origen se debe igualar a 0 la función.
  x^4-5 x^3+5 x^2+5 x-6, x=0
  -6+5 x+5 x^2-5 x^3+x^4 = -6
  Con este parámetro, el programa reemplaza todas las x de la función por 0 para obtener la ordenada al origen de la función, es decir el punto por el cual la misma corta al eje y, y donde el valor de x es 0.
  
  
  
• Derivada de la función: d/dx(x^4-5 x^3+5 x^2+5 x-6) = 4 x^3-15 x^2+10 x+5

• Máximos y Mínimos:
  
  
  El programa indicó solo el mínimo de la función.

-0,3 es el numero crítico y, si dicho numero es reemplazado en la función original (como la imagen lo indica) se obtendrá el valor de ''y''.

Por lo tanto las coordenadas del mínimo son: (-0,3; -7)

Pero además existen otros puntos críticos(máximos o mínimos locales). Para obtenerlos es necesario copiar y pegar la derivada de la función en el programa para encontrar las raíces de dicha derivada.

x=~-0.326345

x=~1.46909

x=~2.60725

Luego se debe reemplazar estos valores en la función original para obtener los valores de y que les corresponden. Observando el gráfico se sabe cual es un máximo y cual un mínimo.

(-0,33;-7 ) Mínimo global (mencionado anteriormente)

(1,45; 0,94) Máximo local

(2,61; -1,38 ) Mínimo local

• En el caso de no contar con el programa hay que seguir los siguientes pasos para obtener los máximos y mínimos de una función:

1- Derivar la función dada

2-Encontrar las raíces de la derivada(valores críticos) ya sea mediante Gauss, aplicando la ecuación resolvente, factor común,etc.

3-Derivar nuevamente la derivada de la función (segunda derivada)

4-Reemplazar los valores críticos de la primer derivada en la segunda derivada para determinar que valor corresponde a un máximo(Reales menores a cero)y cual a un mínimo(Reales mayores a cero)

5-Reemplazar los valores críticos en la función original para obtener los valores de y, es decir, para obtener las coordenadas de máximos y/o mínimos.

• El siguiente paso es analizar el Dominio, imágen, conjuntos de positividad, de negatividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función dada. Para eso es fundamental contar con el gráfico. Wolframalpha muestra desde un principio la gráfica de la función pero en el caso de no contar con dicho programa es necesario obtener, primeramente, las raíces de la función, la ordenada al origen y los máximos o mínimos (locales o absolutos) para poder graficar.
  
• Tanto las raíces, el dominio, los conjuntos de positividad, de negatividad e intervalos de crecimiento y decrecimiento se obtienen observando el eje x.
• La ordenada al origen y la imágen se obtiene a partir del eje y.
• Los puntos máximos y mínimos son coordenadas, por lo tanto para determinarlos es necesario observar tanto el valor de x como el valor de y que le corresponde a la x.
  Raíces= -1; 1; 2 y 3
  OO: -6
  DOM= R
  IMAG= R >= -7
  C+= (-∞;-1) U (1; 2) U (3; ∞)
  C-= (-1; 1) U (2; 3)
  Inter. crecimiento = (-0,33; 1,45) U (2,61; ∞)
  Inter. decrecimiento = (-∞; -0,33)U(1,45; 2,61)
  MAX= (1,45; 0,94)
  MIN= (-0,3; -7) mín local: (2,61; -1,38 )